Question

【題目】已知向量 ，且 ，
（1）求 的取值范圍；
（2）求證 ；
（3）求函數 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =sinxcosx+sinxcosx=2sinxcosx=sin2x

∵x∈[0， ]，

∴2x∈[0，π]

∴ ∈[0，1]

（2）解：證明：∵=（cos+sinx，sinx+cosx）

∴| |=

=

∵x∈[0， ]，

∴x+ ∈[ ， ]，

∴sin（x+ ）＞0，

∴ =2sin（x+ ），

∴| + |=2sin（x+ ）．

（3）解：∵x∈[0， ]，

∴x+ ∈[ ， ]

∴f（x）=

=

=2sinxcosx﹣2（sinx+cosx）

解法1：令t=sinx+cosx

∴

∴y=t2﹣1﹣2t

=（t﹣1）2﹣2

∴y∈ ，

解法2：f（x）=sin2x﹣2

=

= ﹣1

∵ ≤1

∴f（x）∈[﹣2， ]

【解析】（1）利用向量的坐標運算公式可求得 =sin2x，又x∈[0， ]，從而可求 的取值范圍；（2）由 =（cos+sinx，sinx+cosx）由向量模的概念結合輔助角公式即可證得| |=2sin（x+ ）．（3）將 化簡為：f（x）═2sinxcosx﹣2（sinx+cosx），解法1：令t=sinx+cosx，sinxcosx= （1≤t≤ ），y=t2﹣1﹣2t=（t﹣1）2﹣2取值范圍可求． 解法2：f（x）=sin2x﹣2 sin（x+ ）= ﹣1，求得sin（x+ ）的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數在閉區間上的最值(當時，當時，；當時在上遞減，當時，)．