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【題目】在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.

（1）當時，求M點的極坐標；

（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求的最大值.

【答案】（1）點M的極坐標為或（2）

【解析】

（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標.

（2）設出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數最值的求法，求得的最大值.

（1）設點M在極坐標系中的坐標，

由，得，

∵

∴或，

所以點M的極坐標為或

（2）由題意可設，.

由，得，.

故時，的最大值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，，則方程所有根的和等于（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

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【題目】某公司采購了一批零件，為了檢測這批零件是否合格，從中隨機抽測120個零件的長度（單位：分米），按數據分成，，，，，這6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中長度大于或等于1.59分米的零件有20個，其長度分別為1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以這120個零件在各組的長度的頻率估計整批零件在各組長度的概率.

（1）求這批零件的長度大于1.60分米的頻率，并求頻率分布直方圖中，，的值；

（2）若從這批零件中隨機選取3個，記為抽取的零件長度在的個數，求的分布列和數學期望；

（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態分布的概率分布.如果這批零件的長度（單位：分米）滿足近似于正態分布的概率分布，則認為這批零件是合格的將順利被簽收；否則，公司將拒絕簽收.試問，該批零件能否被簽收？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（R）．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若對任意實數，當時，函數的最大值為，求的取值范圍．

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【題目】某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關系式；右側曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關系式.已知點B到的距離為40米.

（1）求橋AB的長度；

（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）經過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點的，兩點.

（i）求證：；

（ii）求的面積的取值范圍.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程為（為參數）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.

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【題目】已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線過點，傾斜角為．

（1）求曲線的直角坐標方程與直線l的參數方程；

（2）設直線與曲線交于，兩點，求的值．

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