Question

【題目】已知函數,且.

（1）若函數在上恒有意義，求的取值范圍；

（2）是否存在實數，使函數在區間上為增函數，且最大值為？若存在求出的值，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據在上恒有意義,則在上恒成立.討論對稱軸的位置,即可求得的取值范圍.

（2）討論與兩種情況,結合復函函數單調性即可判斷是否符合單調遞增.再根據最大值為,代入的值,解方程即可求解.

（1）函數在上恒有意義

即在上恒成立

令

對稱軸為,開口向上

當時,只需,即,解得,所以

當時,只需,即,解得,所以

當時, 只需,即,解得,所以

綜上可知, 的取值范圍為

（2）函數對稱軸為

由復合函數單調性的性質可知:

當時為單調遞減函數, 在上為單調遞增函數,所以在上單調遞減,不合題意

當時, 為單調遞增函數, 若在上單調遞增,則在上為單調遞增函數.

所以由對稱軸在左側可得

因為最大值為2,則

即

即,化簡可得

解得或

因為

所以

當函數在區間上為增函數，且最大值為