Question

【題目】已知橢圓的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于、兩點，試問，是否存在軸上的點，使得對任意的，為定值，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點使得為定值.

【解析】

試題（1）橢圓的標準方程是，則本題中有，已知三角形的面積為4，說明，這樣可以求得；（2）存在性命題的解法都是假設存在，然后想辦法求出.下面就是想法列出關于的方程，本題是直線與橢圓相交問題，一般方法是設交點為，把直線方程代入橢圓方程交化簡為，則有，，而，就可用表示，這個值為定值，即與無關，分析此式可得出結論．．

試題解析：（1）設橢圓的短半軸為，半焦距為，

則，由得，

由解得,則橢圓方程為. （6分）

（2）由得

設由韋達定理得：

=

==， （10分）

當，即時，為定值，所以，存在點使得為定值（14分）．