Question

已知函數f(x)=lgx-(

1

2

)x，g(x)=lgx+(

1

2

)x的零點分別為x₁，x₂，則有（　�。�

A．x₁x₂＜0

B．x₁x₂=1

C．x₁x₂＞1

D．0＜x₁x₂＜1

Answer 1

分析：由已知中函數f(x)=lgx-(

1

2

)x，g(x)=lgx+(

1

2

)x的零點分別為x₁，x₂，根據對數函數底數互為倒數時，圖象關于x軸對稱，函數y=log

1

10

x與y=(

1

2

)x交點橫坐標x₂，進而結合指數函數y=(

1

2

)x的單調性，可判斷出交點縱坐標的大小，進而由對數的運算性質可得答案．

解答：解：f(x)=lgx-(

1

2

)x的零點，即為函數y=lgx與y=(

1

2

)x交點橫坐標x₁，
g(x)=lgx+(

1

2

)x的零點，即為函數y=lgx與y=-(

1

2

)x交點橫坐標x₂，
即為函數y=log

1

10

x與y=(

1

2

)x交點橫坐標x₂，
∵函數y=(

1

2

)x為減函數，
則y₁＜y₂，
即lgx₁＜log

1

10

x2=-lgx₂
∴lgx₁+lgx₂=lgx₁x₂＜0
∴0＜x₁x₂＜1
故選D

點評：本題以函數的零點為載體考查了指數函數和對數函數的圖象和性質，難度較大．