Question

【題目】已知動圓M恒過點（0，1），且與直線y=﹣1相切．
（1）求圓心M的軌跡方程；
（2）動直線l過點P（0，﹣2），且與點M的軌跡交于A、B兩點，點C與點B關于y軸對稱，求證：直線AC恒過定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵動點M到直線y=﹣1的距離等于到定點C（0，1）的距離，

∴動點M的軌跡為拋物線，且 =1，解得：p=2，

∴動點M的軌跡方程為x2=4y

（2）解：證明：由題意可知直線l的斜率存在，

設直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．

聯立 ，化為x2﹣4kx+8=0，

△=16k2﹣32＞0，

解得k＞ 或k＜﹣ ．

∴x1+x2=4k，x1x2=8．

直線直線AC的方程為：y﹣y2=﹣ （x+x2），

又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，

∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，

化為4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），

∵x1=4k﹣x2，

∴4y=（x2﹣x1）x+8，

令x=0，則y=2，

∴直線AC恒過一定點（0，2）

【解析】（1）由題意可知圓心M的軌跡為以（0，1）為焦點，直線y=﹣1為準線的拋物線，根據拋物線的方程即可求得圓心M的軌跡方程；（2）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．代入拋物線方，由韋達定理及直線直線AC的方程為：y﹣y2=﹣ （x+x2），把根與系數的關系代入可得4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，即可得出直線恒過定點．