Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為.經過點且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(其中點在軸上方)，的周長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，把平面沿軸折起來，使軸正半軸和軸確定的半平面，與軸負半軸和軸所確定的半平面互相垂直，若折疊后的周長為，求的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據的周長，結合橢圓的定義可構造方程求得，進而得到橢圓方程；

（2）結合折疊前后的周長可知：，將方程與橢圓方程聯立，得到韋達定理的形式，利用弦長公式和空間兩點間距離公式表示出，從而構造出關于斜率的方程，求得斜率后即可得到.

（1）設橢圓的標準方程為，

由橢圓定義知：，

的周長，

解得：，，

橢圓的標準方程為.

（2）設在新圖形中對應的點為，若，，則，.

，且，，

.

當時，，，不滿足題意；

當時，設，代入橢圓方程得：，

，，

，

，

，

，

，

整理可得：，，

，即；

綜上所述：.