Question

【題目】函數f（x）=x2+bx﹣1（b∈R）．
（1）若函數y=f（x）在[1，+∞）上單調，求b的取值范圍；
（2）若函數y=|f（x）|﹣2有四個零點，求b的取值范圍；
（3）若函數y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），求g（b）的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x2+bx﹣1的圖像是開口朝上，且以直線x=﹣ 為對稱軸的拋物線，

∵y=f（x）在[1，+∞）上單調，

∴﹣ ≤1，

即：b≥﹣2

（2）解：函數y=|f（x）|﹣2有四個零點，即函數y=|f（x）|與直線y=2有四個交點，

∵ 的最小值為

∴只需 即：b∈（﹣1，1）

（3）解：①當b＞0時，函數y=|f（x）|在[0，b）上單調增，

g（b）=max{|f（0）|，|f（b）|}=max{1，|2b2﹣1|}=

②當b＜0時，|f（0）|=f（|b|）=1，

又 ＞1，所以g（b）=

綜上所述，g（b）=

【解析】（1）函數f（x）=x2+bx﹣1的圖像是開口朝上，且以直線x=﹣ 為對稱軸的拋物線，若函數y=f（x）在[1，+∞）上單調，則﹣ ≤1，解處b的取值范圍；（2）若函數y=|f（x）|﹣2有四個零點，則 ，解得b的取值范圍；（3）若函數y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），結合二次函數的圖像和性質分類討論，可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．