Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，.

（1）證明：平面平面；

（2）已知為棱上一點，若，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取AC中點O，連結SO，BO，則SO＝BO＝1，且BO⊥AC，從而SO⊥BO，進而BO⊥平面SAC，由此能證明平面SAC⊥平面ABC；

（2）由D為棱SC上一點，四面體ABCD的體積為，過D作DE⊥AC，交AC于E，能求出點D到平面ABC的距離為DE，從而CE，進而AE＝2．由此能求出線段AD的長．

（1）在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥SC，AB⊥BC，AB＝BC，SB＝，AC＝2，∠SAC＝30°．

取AC中點O，連結SO，BO，則SO＝BO＝1，且BO⊥AC，∴SO2+BO2＝SB2，∴SO⊥BO，

∵SO∩AC＝O，∴BO⊥平面SAC，∵BO平面ABC，∴平面SAC⊥平面ABC．

（2）D為棱SC上一點，四面體ABCD的體積為，

＝1，

過D作DE⊥AC，交AC于E，則點D到平面ABC的距離為DE＝h，

則VABCD＝＝＝，

解得DE＝h＝，∴CE＝＝，∴AE＝2﹣＝．

∴線段AD的長為：AD＝＝＝．