Question

【題目】給出下列條件：①焦點在軸上；②焦點在軸上；③拋物線上橫坐標為的點到其焦點的距離等于；④拋物線的準線方程是.

（1）對于頂點在原點的拋物線：從以上四個條件中選出兩個適當的條件，使得拋物線的方程是，并說明理由；

（2）過點的任意一條直線與交于，不同兩點，試探究是否總有？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）選擇條件①③;詳見解析（2）總有，證明見解析

【解析】

（1）通過焦點位置可判斷條件①適合，條件②不適合，通過準線方程，可判斷條件④不適合，利用焦半徑公式可判斷條件③適合；

（2）假設總有，設直線的方程為，聯立，利用韋達定理計算可得結果.

解：（1）因為拋物線的焦點在軸上，所以條件①適合，條件②不適合.

又因為拋物線的準線方程為：，

所以條件④不適合題意，

當選擇條件③時，，

此時適合題意，

故選擇條件①③時，可得拋物線的方程是；

（2）假設總有，

由題意得直線的斜率不為，

設直線的方程為，

由得

設，

所以恒成立，，，

則，

所以，

所以，

綜上所述，無論如何變化，總有.