Question

【題目】已知橢圓，為坐標原點，為橢圓上任意一點，，分別為橢圓的左、右焦點，且，，依次成等比數列，其離心率為.過點的動直線與橢圓相交于、兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當時，求直線的方程；

（3）在平面直角坐標系中，若存在與點不同的點，使得成立，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線的方程為或（3）點坐標為

【解析】

（1）根據條件列關于的方程組，解方程組即可得結果；

（2）驗證當直線的斜率不存在時的情況，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立，先利用弦長公式求出，列方程求出，進而可得直線的方程；

（3）驗證當直線與軸平行和垂直時的情況，直線的斜率存在時，可設直線的方程為，利用（2）中所求，利用韋達定理得到，，三點共線，進而可得成立，點坐標也可求出.

解（1）由題意知，

解得，，

所以橢圓的標準方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，，不符合題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立，得，

其判別式，

設、坐標分別為，，

則，，

所以，

整理得，解得或，

所以或，

綜上，直線的方程為或；

（3）因為存在點，使，

即，

①當直線與軸平行時，此時，

所以點在軸上，可設點坐標為；

當直線與軸垂直時，則，的坐標分別為，，

由，得，解得或，

因為不同于點，則點坐標只能為；

②下面證明，對任意直線，均有點，使成立，

當直線斜率不存在時，由上知，結論成立；

當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，

由（2）中式得，

，，

所以，

易知，點關于軸對稱的點的坐標為，

又因為，

，

所以，即，，三點共線，

所以，

即成立，

所以點坐標為.