Question

【題目】設函數，其中．

（Ⅰ）當為偶函數時，求函數的極值；

（Ⅱ）若函數在區間上有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值，極大值；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）根據偶函數定義列方程，解得.再求導數，根據導函數零點列表分析導函數符號變化規律，即得極值，（Ⅱ）先分離變量，轉化研究函數，，利用導數研究單調性與圖象，最后根據圖象確定滿足條件的的取值范圍．

（Ⅰ）由函數是偶函數，得，

即對于任意實數都成立，

所以.

此時，則.

由，解得.

當x變化時，與的變化情況如下表所示：

		0		0
	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以在，上單調遞減，在上單調遞增.

所以有極小值，有極大值.

（Ⅱ）由，得. 所以“在區間上有兩個零點”等價于“直線與曲線，有且只有兩個公共點”.

對函數求導，得.

由，解得，.

當x變化時，與的變化情況如下表所示：

		0		0
	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以在，上單調遞減，在上單調遞增.

又因為，，，，

所以當或時，直線與曲線，有且只有兩個公共點.

即當或時，函數在區間上有兩個零點.