Question

【題目】設x，y∈R，向量 分別為直角坐標平面內x，y軸正方向上的單位向量，若向量 ， ，且 ．
（Ⅰ）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設橢圓 ，P為曲線C上一點，過點P作曲線C的切線y=kx+m交橢圓E于A、B兩點，試證：△OAB的面積為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ，且 ，
∴
∴點M（x，y）到兩個定點F1（- ，0），F2（ ，0）的距離之和為4
∴點M的軌跡C是以F1、F2為焦點的橢圓，
設所求橢圓的標準方程為 ，
a=2∴b2=a2﹣c2=1
其方程為
（Ⅱ）證明：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0
顯然直線與橢圓C的切點在橢圓E內，
∴△＞0，由韋達定理可得： ， ．
所以
因為直線y=kx+m與y軸交點的坐標為（0，m），
所以△OAB的面積
=
設
將y=kx+m代入橢圓C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0
由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，
又因為 ，
故 為定值．
【解析】（Ⅰ）通過 ，得到 ，說明點M（x，y）到兩個定點F1（- ，0），F2（ ，0）的距離之和為4，推出點M的軌跡C是以F1、F2為焦點的橢圓，然后求解即可．（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0顯然直線與橢圓C的切點在橢圓E內，利用判別式以及韋達定理求解三角形的面積，轉化求解即可．