Question

【題目】在數列{an}和{bn}中，a1= ，{an}的前n項為Sn ， 滿足Sn+1+（ ）n+1=Sn+（ ）n（n∈N*），bn=（2n+1）an ， {bn}的前n項和為Tn ．
（1）求數列{bn}的通項公式bn以及Tn ．
（2）若T1+T3 ， mT2 ， 3（T2+T3）成等差數列，求實數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn+1+（ ）n+1=Sn+（ ）n（n∈N*），∴an+1=Sn+1﹣Sn= ﹣ = ．

∴n≥2時，an= ，又a1= ，因此n=1時也成立．

∴an= ，

∴bn=（2n+1）an=（2n+1）× ．

∴Tn= + + +…+ ，

= +…+ + ，

∴ = ﹣ = +2× ﹣ ，

∴Tn=5﹣

（2）解：由（1）可得：T1= ，T2= ，T3= ．

∵T1+T3，mT2，3（T2+T3）成等差數列，∴ + +3×（ + ）=2× ，

解得m=

【解析】（1）由Sn+1+（ ）n+1=Sn+（ ）n（n∈N*），可得an+1=Sn+1﹣Sn= ．可得an= ，bn=（2n+1）an=（2n+1）× ．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．（2）由（1）可得：T1= ，T2= ，T3= ．利用T1+T3 ， mT2 ， 3（T2+T3）成等差數列，即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和等差數列的性質的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列才能正確解答此題．