Question

【題目】已知函數，，

（1）若函數的兩個極值點為，求函數的解析式；

（2）在（1）的條件下，求函數的圖象過點的切線方程；

（3）對一切恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1） （2）x+y-2=0 （3） a≥-2

【解析】函數的兩個極值點處導數為0 ，g’(x)=3x2+2ax-1帶入即可；

要求函數的圖象過點的切線方程，先求函數在點處的導數即斜率，在用點斜式求出方程；恒成立求實數的取值范圍時，一般分離參數，2a≥2lnx-3x-再在最值處成立即可。

解：（1）g’(x)=3x2+2ax-1由題意：

（2）由（1）可得：g(x)=x3-x2-x+2（1o）若P為切點，則切線方程為：y=1

2 o若P不是切點，設切點Q（x0，y0）∴切線方程為y-y0=(3x02-2x0-1)(x-x0)

1-(x03-x02-x0+2)=(3x02-2x0-1)(1-x0) 2x0(x0-1)2=0 ∴x0=0 ∴切點（0，2）

∴切線方程：x+y-2=0

（3）2xlnx≤3x2+2ax-1+2 ∴2ax≥2xlnx-3x2-1 ∵x>0 ∴2a≥2lnx-3x-

令ln(x)=2lnx-3x-

x（0，1）1（1，+∞）

h’(x)+0-

h(x)↑極大值↓

∴h(x) ≤h(1)=-4 ∴2a≥-4 a≥-2