Question

設虛數z=（x-2）+yi，（x，y∈R），又|

.

z

|=1，那么

y

x

的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• B、[-

  3

  3

  ，0)∪(0，

  3

  3

  ]
• C、[-

  3

  ，

  3

  ]
• D、[-

  3

  ，0)∪(0，

  3

  ]

Answer 1

分析：根據z=（x-2）+yi，（x，y∈R），|

.

z

|=1，可知方程表示以（2，0）為圓心，1為半徑的圓，利用參數法，構建函數，進而利用導數求出

y

x

的取值范圍．

解答：解：由題意，∵z=（x-2）+yi，（x，y∈R），|

.

z

|=1
∴（x-2）²+y²=1
設x=2+cosα，y=sinα，α∈[0，2π]
∴

y

x

=

sinα

2+cosα

設g(α)=

sinα

2+cosα

，∴g′(α)=

cosα(2+cosα)-sinα×(-sinα)

(2+cosα)2

=

2cosα+1

(2+cosα)2

令g′（α）=0，∴2cosα+1=0
∵α∈[0，2π]，∴α=

2π

3

或α=

4π

3

∵α∈[0，

2

3

π]上，g′（α）＞0，[

2

3

π，

4

3

π]上，g′（α）＜0，[

4

3

π，2π]上，g′（α）＞0
∴α∈[0，

2

3

π]上單調增，[

2

3

π，

4

3

π]上單調減，[

4

3

π，2π]上單調增
∴α=

2π

3

時，函數取得最大值為：

3

3

；α=

4π

3

時，函數取得最小值為-

3

3

故選A．

點評：本題以虛數的模為載體，考查圓的方程的運用，考查利用導數求最值，有一定的綜合性．