Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面，，點是的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：∥平面．

（Ⅲ）設，，在線段上是否存在點，使得?若存在，確定點的位置; 若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析； （Ⅲ）存在，為線段的中點，理由略．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過證得，且，即可證得平面，即證；

（Ⅱ） 設與的交點為，連結，因為是的中點，是的中點，由三角形的中位線定理得∥，又由線面平行的判定定理即證∥平面；

（Ⅲ） 在線段上存在點，使得，且為線段的中點．證明如下：由已知得．

由已知，為線段的中點，所以，可得平面．連接．因為平面，所以，易證，所以平面，即可得．

試題解析：（Ⅰ）在三棱柱中，因為底面，底面，

所以．

又，，

所以平面．

而，

則．

（Ⅱ）設與的交點為，連結，

因為是的中點，是的中點，

所以∥．

因為平面，平面，

所以∥平面．

（Ⅲ）在線段上存在點，使得，且為線段的中點．

證明如下：因為底面，底面，所以．

由已知，為線段的中點，

所以．

又，

所以平面．

取線段的中點，連接．

因為平面，所以．

由已知，由平面幾何知識可得．

又，所以平面．

又平面，

所以．