Question

【題目】在四棱錐中，底面是正方形，與交于點，底面，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）若，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）連接，利用中位線的性質得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）由正方形的基本性質得出，由平面得出，利用直線與平面垂直的判定定理證明出平面，由此可得出；

（3）取的中點，利用中位線的性質結合平面得出平面，計算出和的面積，然后利用錐體的體積公式可計算出三棱錐的體積.

（1）連接，如下圖：

由四邊形是正方形可知，點為的中點，

又為的中點，，

平面，平面，平面；

（2）由底面，底面，，

四邊形是正方形可知，.

又，、平面，平面.

又平面，；

（3）取中，連接，在四棱錐中，底面，

是的中位線，，底面.

，.

因此，三棱錐的體積．