Question

【題目】設是函數的一個極值點.

（1）求與的關系式（用表示）

（2）求的單調區間；

(3)設，若存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）① 當時，單調遞增區間為：；單調遞減區間為：，；

② 當時，單調遞增區間為：；單調遞減區間為：，；

（3）.

【解析】

試題（1）解決類似的問題時，注意區分函數的最值和極值.求函數的最值時，要先求函數在區間內使的點，再計算函數在區間內所有使的點和區間端點處的函數值，最后比較即得.（2）第二問關鍵是分離參數，把所求問題轉化為求函數的最小值問題.（3）若可導函數在指定的區間上單調遞增（減），求參數問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：（1）∵

∴

由題意得：，即，

∴且

令得，

∵是函數的一個極值點.

∴，即故與的關系式

（2） ① 當時，，由得單調遞增區間為：；

由得單調遞減區間為：，；

② 當時，，由得單調遞增區間為：；

由得單調遞減區間為：，；

（3） 由（2）知：當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，

，

在上的值域為

易知在上是增函數

在上的值域為

由于，又因為要存在，

使得成立，所以必須且只須， 解得：

所以：的取值范圍為