Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AA1AB，M，N分別為AB，AA1的中點.

（1）求證：平面B1NC⊥平面CMN；

（2）若AB＝2，求點N到平面B1MC的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）推導出AA1⊥平面ABCD，AA1⊥CM，CM⊥AB，從而CM⊥平面ABB1A1，進而CM⊥B1N，推導出△A1B1N∽△ANM，從而∠A1B1N＝∠ANM，∠A1NB1＝∠AMN，進而B1N⊥MN，B1N⊥平面CMN，由此能證明平面B1NC⊥平面CMN.

（2）求出點B1到平面CMN的距離為h1，設N到平面B1CM的距離為h2，由，能求出點N到平面B1MC的距離.

（1）證明：∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，

∵CM平面ABCD，∴AA1⊥CM，

∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，M是AB的中點，

∴CM⊥AB，

∵AA1∩AB＝A，AA1平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，

∴CM⊥平面ABB1A1，

∵B1N平面ABB1A1，∴CM⊥B1N，

∵M是AB中點，N為AA1中點，AA1，

∴，，

∵∠B1A1N＝∠NAM＝90°，∴△A1B1N∽△ANM，

∴∠A1B1N＝∠ANM，∠A1NB1＝∠AMN，

∴∠A1NB1+∠ANM＝90°，∴B1N⊥MN，

∵MN∩CM＝M，∴B1N⊥平面CMN，

∵B1N平面B1NC，∴平面B1NC⊥平面CMN.

（2）∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，

AA1AB，AB＝2，M，N分別為AB，AA1的中點.

∴MN，B1M3，B1C，

B1N，

∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴CM，CN，

由（1）知B1N⊥平面CMN，設點B1到平面CMN的距離為h1，h1，

∵CN2＝MN2+CM2，∴，

∴，

∵B1M＝3，，∴，

設N到平面B1CM的距離為h2，

∵，

∴，

解得h2.

∴點N到平面B1MC的距離為.