Question

【題目】甲，乙兩人進行拋硬幣游戲，規定：每次拋幣后，正面向上甲贏，否則乙贏.此時，兩人正在游戲，且知甲再贏(常數)次就獲勝，而乙要再贏(常數)次才獲勝，其中一人獲勝游戲就結束.設再進行次拋幣，游戲結束.

（1）若，，求概率；

（2）若，求概率的最大值(用表示).

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）根據比賽4次結束，可知甲、乙兩人獲勝次數之比可能是：2：2且最后一次甲勝或者1：3且最后一次乙勝，利用獨立重復試驗公式可求結；

（2）先表示出，構造函數，作商比較，判斷出單調性，結合單調性可得最大值.

（1）依題意，游戲結束時，甲、乙兩人獲勝次數之比可能是：2：2且最后一次甲勝或者1：3且最后一次乙勝，

.

（2）依題意，.

設

則.

而 (*)

.(#)

因為的判別式

(顯然在時恒成立)，

所以.

又因為，所以(#)恒成立，從而(*)成立.

所以，即(當且僅當時，取“=”)，

所以的最大值為，

即的最大值為.