Question

【題目】如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足∥，寬度為．圓為江中的一個半徑為的小島，小鎮位于岸線上，且滿足岸線，．現計劃建造一條自小鎮經小島至對岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側），為保護小島，段設計成與圓相切．設．

（1）試將通道的長表示成的函數，并指出定義域；

（2）若建造通道的費用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？

Answer 1

【答案】（1），定義域是．（2）百萬

【解析】

（1）以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系，設，利用直線與圓相切得到，再代入這一關系中，即可得答案；

（2）利用導數求函數的最小值，即可得答案；

以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系．

設，則，，．

因為，

所以直線的方程為，

即，

因為圓與相切，所以，

即，從而得，

在直線的方程中，令，得，

所以，

所以

當時，，設銳角滿足，則，

所以關于的函數是，定義域是．

（2）要使建造此通道費用最少，只要通道的長度即最�。�

令，得，設銳角，滿足，得．

列表：

		0
	減	極小值	增

所以時，，所以建造此通道的最少費用至少為百萬元．