Question

【題目】四邊形中，，且，為中點，連接，如圖（1），將其沿折起使得平面平面，平面平面，連接，如圖（2）.

（1）證明：圖（2）中的四點共面；

（2）求圖（2）中平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)分析翻折后,取DE,CE中點M,N,連接MN,AM,BN利用平面幾何知識證明,,進而得到，則A,B,C,D四點共面;

(2)以N為原點建立如圖所示空間直角坐標系,根據等量關系寫出A,C,D,E,N五點坐標,求出平面BCE和平面ACE的法向量,將兩個平面所成的銳二面角轉化為法向量所成角的余弦值來求解.

(1)翻折前,由題意AB=2CD=2AD=2BC=2,E為AB的中點,可得AE=EB=BC=CD=DA=1,又ABCD,,,則可得AD=CE=1,同理DE=BC=1,

翻折后,取DE,CE中點M,N,連接MN,AM,BN,如圖所示:

則MNCD,在△ADE和△BCE內:AMDE,BNCE,

由平面平面, 平面平面=DE,

AM平面,同理BN平面,AMBN,由題意等量關系易得AMBN,可得四邊形ABNM為平行四邊形,所以ABNM,由MNCD得ABCD,所以翻折后A,B,C,D四點共面.

(2)翻折后,以N為原點,NB所在的直線為軸,ND所在的直線為軸,NE所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則有如下坐標:A,C,D,E,N,則,,,設平面的法向量,由令,聯立可解得,所以,又平面的法向量為

所以由,即平面BCE和平面ACE所成的銳二面角的余弦值為.