Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）令，已知函數有兩個極值點，且，

①求實數的取值范圍；

②若存在，使不等式對任意（取值范圍內的值）恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）求出導數，計算，，由點斜式寫出切線方程并整理成一般式.

（2）①求出，由，可得有兩個滿足題意的不等實根，由二次方程根的分布可得的取值范圍；②由①求出兩極值點，確定的單調性，得在單調遞增，因此題設中使不等式成立，取的最大值，使之成立即可，化簡為不等式，對任意的恒成立，引入函數，由導數研究此函數的單調性得不等式成立的條件.

（1）當時，，，

時，，，

在處的切線方程為，

化簡整理可得.

（2）①對函數求導可得，，

令可得，，

解得實數的取值范圍為.

②由，解得，

而在上遞增，在上遞減，在上遞增，

，，

在單調遞增，

在上，，

，使不等式，

對恒成立，等價于不等式

恒成立，

即不等式對任意的恒成立.

令，

則，

當時，，在上遞減，即，不合題意.

當時，

，

若，即時，則在上遞減，

，

時，不能恒成立；

若，即時，

則在上遞增，

恒成立，

實數的取值范圍