Question

【題目】如圖l，在邊長為2的菱形中，，于點，將沿折起到的位置，使，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段上是否存在點，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)由，可得，結合可得到平面，由此得，結合利用線面垂直的判定定理可得結果；（2）以為原點，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的法向量，結合平面的法向量為，利用空間向量夾角余弦公式可得結果；（3）假設在線段上存在一點滿足條件，設出點的坐標，結合對應的比例關系，通過兩平面法向量的數量積為零來確定相應的參數值，進而得以確定存在性問題.

（1）因為，，，

所以平面，

因為平面，

所以，

又因為，，

所以平面BCDE.

（2）以E為原點，分別以EB，ED，為x，y，z軸，建立空間直角坐標系,

則，，，

所以，，

設平面的法向量，

由得，

令，得，

因為平面，

所以平面的法向量，

，

因為所求二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

（3）假設在線段BD上存在一點P，使得平面平面，

設，，則，

所以，

所以，，

設平面的法向量，

由,得，

令，得,

因為平面平面，

所以，解得，

所以在線段BD上存在點P，使得平面平面，且.