Question

【題目】【2015高考四川，文21】已知函數f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.

(Ⅰ)設g(x)為f(x)的導函數，討論g(x)的單調性；

(Ⅱ)證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區間(1，＋∞)內有唯一解.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(Ⅰ)由已知，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)

g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a)

所以g'(x)＝2－

當x∈(0，1)時，g'(x)＜0，g(x)單調遞減

當x∈(1，＋∞)時，g'(x)＞0，g(x)單調遞增

(Ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx

令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx

則Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0

于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0

令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)

由u'(x)＝1－≥0知，函數u(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增

故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1

即a0∈(0，1)

當a＝a0時，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0

再由(Ⅰ)知，f '(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增

當x∈(1，x0)時，f '(x)＜0，從而f(x)＞f(x0)＝0

當x∈(x0，＋∞)時，f '(x)＞0，從而f(x)＞f(x0)＝0

又當x∈(0，1]時，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0

故x∈(0，＋∞)時，f(x)≥0

綜上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區間(1，＋∞)內有唯一解.