Question

【題目】“克拉茨猜想”又稱“猜想”，是德國數學家洛薩·克拉茨在1950年世界數學家大會上公布的一個猜想:任給一個正整數，如果是偶數，就將它減半；如果是奇數，就將它乘3加1，不斷重復這樣的運算，經過有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數經過7次運算后首次得到1，則的所有不同取值的集合為____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題,設第7次的運算結果為,分別討論第6次為奇數和偶數的情況,即可推導第6次的結果,依次類推,經過7次運算后得到所求,求解過程中需注意,正整數經過7次運算后首次得到1,則運算過程中出現非正整數及1均不符合條件.

由題,由正整數經過7次運算后首次得到1,即可設第7次的運算結果為,

若第6次為奇數,則,解得,不符合；

若第6次為偶數,則,解得；

若第5次為奇數,則,解得,不符合；

若第5次為偶數,則,解得；

若第4次為奇數,則,解得,不符合；

若第4次為偶數,則,解得；

若第3次為奇數,則,解得,不符合；

若第3次為偶數,則,解得；

若第2次為奇數,則,解得①；

若第2次為偶數,則,解得②；

第1次為奇數,則①,解得,不符合；②,解得,不符合；

第1次為偶數,則①,解得③；②,解得④；

若為奇數,則③,解得；④,解得；

若為偶數,則③,解得；④,解得.

綜上,的所有不同取值的集合為,

故答案為: