Question

【題目】已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.

（1）判斷點是否在直線上？說明理由；

（2）設點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不在，證明見詳解；（2）

【解析】

（1）假設直線方程，并于拋物線方程聯立，結合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結果.

（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯立，根據（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結合拋物線定義可得，計算可得結果.

（1）設直線方程，

根據題意可知直線斜率一定存在，

則

則

由

所以

將代入上式

化簡可得，所以

則直線方程為，

所以直線過定點，

所以可知點不在直線上.

（2）設

線段的中點為

線段的中點為

則直線的斜率為，

直線的斜率為

可知線段的中垂線的方程為

由，所以上式化簡為

即線段的中垂線的方程為

同理可得：

線段的中垂線的方程為

則

由（1）可知：

所以

即，所以點軌跡方程為

焦點為，

所以

當三點共線時，有最大

所以