Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，函數在區間上的最小值為-5，求的值；

（Ⅱ）設，且有兩個極值點，.

（i）求實數的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）（i）；（ii）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）對求導，可得，單調遞增，得到最小值，從而得到的值.

（Ⅱ）（i）有兩個極值點，，通過參變分離轉化為有兩個不相等的實數根，再轉化成兩個函數交點問題，從而得到的取值范圍.

（ii）根據題意得到，，兩式相加、減消去，設構造出關于的函數，利用導數得到單調性，進行證明.

解：（Ⅰ），

∵，，∴，

所以在區間上為單調遞增.

所以，

又因為，

所以的值為8.

（Ⅱ）（i）∵

，

且的定義域為，

∴.

由有兩個極值點，，

等價于方程有兩個不同實根，.

由得：.

令，

則，由.

當時，，則在上單調遞增；

當時，，則在上單調遞減.

所以，當時，取得最大值，

∵，∴當時，，當時，，

所以，解得，所以實數的取值范圍為.

（ii）證明：不妨設，

且①，②，

①+②得： ③

②-①得： ④

③÷④得：，即，

要證：，

只需證.

即證：.

令，

設，

.

∴在上單調遞增，

∴，即，

∴.