Question

【題目】設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為坐標原點，為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據橢圓的基本量的關系得：，化簡，，所以，所求直線方程；（2）設直線的方程為，由直線與圓錐曲線的位置關系聯立，整理得，，從而，由，，直線的方程為，聯立方程組得解得，根據大角對大邊，，從而，化簡得，即，解得或．

試題解析：（1）設，由，即，

可得，

又，所以，因此，

所以橢圓的方程為．

（2）設直線的斜率為（），則直線的方程為，設，

由方程組整理得，

解得，或，

由題意得，從而．

由（１）知，，設，有，，

由，得，所以，解得，

因此直線的方程為．

設，由方程組

解得，

在△中，等價于，

即，

化簡得，即，

解得或．

所以，直線的斜率的取值范圍為．