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【題目】已知半徑為的球面上有兩點，且，球心為，若是球面上的動點，且二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為______.

【答案】

【解析】

設所在截面圓的圓心為，中點為，連接，易知，，從而可知即為二面角的平面角，，進而可求出，，，由到三點的距離相等，可知四面體外接球的球心在射線上，設四面體外接球半徑為，在中，由勾股定理，可得，可求出，進而求出外接球的表面積.

設所在截面圓的圓心為，中點為，連接，

則，所以，同理，所以即為二面角的平面角，.

因為，，所以是等腰直角三角形，所以.

在中，由，得，由勾股定理，得.

因為到三點的距離相等，所以四面體外接球的球心在射線上.

設四面體外接球半徑為，在中，，，，由勾股定理，可得，即，解得，所以.

故答案為：.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】江蘇省從2021年開始，高考取消文理分科，實行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位學生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目，某校為了解高一年級學生對“1”的選課情況，隨機抽取了100名學生進行問卷調查，如下表是根據調查結果得到的2×2列聯表.

性別

選擇物理

選擇歷史

總計

男生

50

b

m

女生

c

20

40

總計

100

（1）求m，b，c的值；

（2）請你依據該列聯表判斷是否有99.5%的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由.

附：對于2×2列聯表

類1

類2

合計

類A

a

b

a＋b

類B

c

d

c＋d

合計

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

有，其中.

P()

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[－1，1]時，f(x)＝x2.令g(x)＝f(x)－kx－k，若在區間[－1，3]內，函數g(x)＝0有4個不相等實根，則實數k的取值范圍是(　　)

A.(0，＋∞)B.

C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】邊長為2正方體中，點E在棱CD上.

（1）求證：；

（2）若E是CD中點，求與平面所成的角的正弦值；

（3）設M在棱上，且，是否存在點E，使平面⊥平面，若存在，指出點E的位置，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本�！痹谥腥A民族幾千年綿延發展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發動機進行科技改造，根據市場調研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數據統計如下：

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

當時，建立了與的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當時，確定與滿足的線性回歸方程為：.

（1）根據下列表格中的數據，比較當時模型①、②的相關指數，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“東方紅”款汽車發動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

（附：刻畫回歸效果的相關指數，.）

（2）為鼓勵科技創新，當科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預測依據，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大��；

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式 ；）

（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發動機的熱效率大幅提高，服從正態分布，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發動機的熱效率不超過，不予獎勵；若發動機的熱效率超過但不超過，每臺發動機獎勵2萬元；若發動機的熱效率超過，每臺發動機獎勵5萬元.求每臺發動機獲得獎勵的數學期望.

（附：隨機變量服從正態分布，則，.）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一批產品共10件，其中3件是不合格品，用下列兩種不同方式從中隨機抽取2件產品檢驗：

方法一：一次性隨機抽取2件；

方法二：先隨機抽取1件，放回后再隨機抽取1件.

記方法一抽取的不合格產品數為.記方法二抽取的不合格產品數為.

（1）求兩種抽取方式下，的概率分布列；

（2）比較兩種抽取方式抽到的不合格品平均數的大��？并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時，求的圖象在處的切線方程；

（2）當時，求證：在上有唯一零點.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年春節期間，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動，超市設計了兩種抽獎方案.

方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.

方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.

（1）現有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；

（2）若某顧客獲得抽獎機會.

①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數學期望；

②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若函數在區間上單調，求的取值范圍；

（2）若函數在上無零點，求的最小值.

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