Question

【題目】邊長為2正方體中，點E在棱CD上.

（1）求證：；

（2）若E是CD中點，求與平面所成的角的正弦值；

（3）設M在棱上，且，是否存在點E，使平面⊥平面，若存在，指出點E的位置，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2） （3）為的中點時，平面⊥平面.

【解析】

（1）建立坐標系，設出正方體的棱長，設出點的坐標，寫出要證的兩條線段對應的向量坐標，求兩個向量的數量積，得到兩個向量的數量積為0，得到對應的兩條直線垂直．
（2）設出平面的一個法向量，利用這個法向量與平面上的兩個不共線的向量的數量積為0，求出一個法向量，利用公式可得到線面角的正弦值．
（3）假設存在符合條件的點，得到平面的一個法向量，根據兩個平面垂直，得到對應的兩個平面的法向量的數量積是0，得到關于的方程，解方程即可，舍去不合題意的結果

在正方體中，以點為坐標原點，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為1，則，,

（1）設，則,

所以,所以

故.

(2) 若E是CD中點，則，,

設出平面的一個法向量

則即

取，得，又

則

所以與平面所成的角的正弦值為

（3）設滿足條件的點，設平面的一個法向量

,

則即

取，得，

由M在上，且，則

設平面的一個法向量

,

則即

取，得，

平面⊥平面，則，解得或（舍）

所以當，即為的中點時，平面⊥平面，