Question

【題目】如圖，己知拋物線，直線交拋物線于兩點，是拋物線外一點，連接分別交地物線于點，且.

（1）若，求點的軌跡方程.

（2）若，且平行x軸，求面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設，根據向量關系可用的坐標表示的坐標，利用在拋物線可得的坐標滿足的方程，同理利用D在拋物線也可得的坐標滿足的方程，聯立直線方程和拋物線方程結合韋達定理可得的橫坐標為2.也可以利用在拋物線上及得到，利用、的中點、的中點共線得到的橫坐標為2.

（2）根據（1）的相關結果可用表示的坐標、的坐標及中點的坐標，根據在拋物線上可得的值并求出的坐標，最后利用公式可求面積.

（1）解法1：，設，

則，由可得

，故，同理，

故，代入拋物線得：，

化簡得：，

同理得：，

所以為方程的兩根，

又由，

將代入且①，

將代入①，得，故.

故點P的軌跡方程為.

解法2：同解法1知

，

設線段的中點分別為，易知三點共線，

（為實數），所以.

以下同解法1.

（2）由為方程的兩根，

可得：.

由（1）得，因為，所以，故.

軸且在拋物線上，∴關于軸對稱.

，及，

且.

∵在拋物線上,，解得.

設的中點為，則，

所以，

而.