Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，若，，成等比數列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．

求橢圓的標準方程；

過該橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

根據，，成等比數列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．列出關于 、 、的方程組，求出 、的值，即可得出橢圓的方程；對直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當兩條直線斜率都存在時，設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式可計算出的長度的表達式，然后利用相應的代換可求出的長度表達式，將兩線段長度表達式相加，利用函數思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進行合并即可得出答案．

易知，得，則，

而，又，得，，

因此，橢圓C的標準方程為；

當兩條直線中有一條斜率為0時，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；

當兩條直線斜率都存在且不為0時，由知，

設、，直線MN的方程為，則直線PQ的方程為，

將直線方程代入橢圓方程并整理得：，

顯然，，，

，同理得，

所以，，

令，則，，設，

，所以，，所以，，則．

綜合可知，的取值范圍是．