Question

【題目】在豎直坐標平面中，從坐標原點出發以同一初速度和不同的發射角（即發射方向與軸正向之間的夾角）射出的質點（不計質點的大�。�，在重力（設重力加速度為）的作用下運動軌跡是拋物線，所有這些拋物線組成一個拋物線族（即拋物線的集合）.若兩條拋物線在同一個交點處的切線互相垂直，則稱這個交點為正交點.證明：此拋物線族的所有正交點的集合是一段橢圓弧，并求出這個橢圓弧的方程（包括變量的取值范圍），再畫出它的草圖.注. 拋物線在其上的點處的切線的斜率為.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖，設在時刻時質點坐標為，

時質點在坐標原點.由物理學公式得

由①得 ，代入②得

，

亦即 . ③

這就是以為發射角的質點的運動軌跡方程.

另外，由，知，與同號.

由題注知，拋物線③在點處的切線的斜率為

.

設正交點為，兩條拋物線所對應的發射角分別為和，則由“正交點”的定義得

.

又因為在這兩條拋物線上，故

. ⑤

顯然原點是“正交點”，這只須取即可.故下面設.由⑤得

<> .

把上式代入④得

，

即 . ⑥

又由⑤知，和是下列一元二次方程（設為未知元）

⑦

的兩個根，故由根與系數的關系得

. ⑧

把⑧代入⑥得

，

，

即 . ⑨

另外，由（因為）知⑦應有兩個不同的實根，從而⑦的判別式應大于零，即

，

亦即 . ⑩

又由⑨得 ，所以，⑩變為

，

，

即 .

但由⑨得，這樣由知，只能有

.

綜合⑨和知，所有“正交點“的集合是下列方程所表示的曲線：

.

它所表示的曲線如下圖所示，即橢圓上除去上頂點以外，卻都可以成為“正交點”.