Question

已知向量

a

=(

3

，cosωx)，

b

=(sinωx，1)，函數f（x）=

a

•

b

，且最小正周期為4π．
（1）求ω的值；
（2）設α，β∈[

π

2

，π]，f(2α-

π

3

)=

6

5

，f(2β+

2π

3

)=-

24

13

，求sin（α+β）的值．
（3）若x∈[-π，π]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據數量積的坐標公式，得f(x)=

3

sinωx+cosωx，再用輔助角公式化簡整理，得f(x)=2sin(ωx+

π

6

)，再結合函數y=Asin（ωx+φ）的周期公式，可得ω的值；
（2）根據（1）中f（x）的表達式，結合三角函數的誘導公式，算出cosα=-

4

5

、cosβ=-

12

13

，再用兩角和的正弦公式，即可算出sin（α+β）的值；
（3）當x∈[-π，π]時，

1

2

x+

π

6

∈（-

π

3

，

2π

3

），利用換元法結合正弦函數的單調性，即可得到函數f（x）的值域．

解答：解：（1）由題意得：f(x)=

3

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

π

6

)…（2分）
∵F（x）的最小正周期為4π，
∴T=

2π

ω

=4π，解得ω=

1

2

…（4分）
（2）由（1），知f(x)=2sin(

1

2

x+

π

6

)，
則f(2α-

π

3

)=2sin[(α-

π

6

)+

π

6

]=2sinα=

6

5

∴sinα=

3

5

，結合α∈[

π

2

，π]，得cosα=-

4

5

…（6分）
同理f(2β+

2π

3

)=2sin[(β+

π

3

)+

π

6

]=2sin(β+

π

2

)=2cosβ=-

24

13

∴cosβ=-

12

13

，結合β∈[

π

2

，π]，得sinβ=

5

13

…（8分）
所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=-

56

65

…（10分）
（3）當x∈[-π，π]時，-

π

3

＜

1

2

x+

π

6

＜

2π

3

，
令t=

1

2

x+

π

6

，則t∈[-

π

3

，

2π

3

]，
原函數可化為f（t）=2sint，t∈[-

π

3

，

2π

3

]…（11分）
當t=-

π

3

時，f(t)min=-

3

；                                           …（12分）
當t=

π

2

時，f(t)max=2…（13分）
所以，當x∈[-π，π]時，函數f（x）的值域為：[-

3

，2]…（14分）

點評：本題以向量數量積為載體，求解三角函數的圖象與性質等問題，著重考查了三角恒等變換、平面向量的數量積和三角函數的值域與最值等知識，屬于中檔題．