分析:(1)根據數量積的坐標公式,得
f(x)=sinωx+cosωx,再用輔助角公式化簡整理,得
f(x)=2sin(ωx+),再結合函數y=Asin(ωx+φ)的周期公式,可得ω的值;
(2)根據(1)中f(x)的表達式,結合三角函數的誘導公式,算出
cosα=-、
cosβ=-,再用兩角和的正弦公式,即可算出sin(α+β)的值;
(3)當x∈[-π,π]時,
x+∈(
-,),利用換元法結合正弦函數的單調性,即可得到函數f(x)的值域.
解答:解:(1)由題意得:
f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+)…(2分)
∵F(x)的最小正周期為4π,
∴
T==4π,解得
ω=…(4分)
(2)由(1),知
f(x)=2sin(x+),
則
f(2α-)=2sin[(α-)+]=2sinα=∴
sinα=,結合
α∈[,π],得
cosα=-…(6分)
同理
f(2β+)=2sin[(β+)+]=2sin(β+)=2cosβ=-∴
cosβ=-,結合
β∈[,π],得
sinβ=…(8分)
所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=
-…(10分)
(3)當x∈[-π,π]時,
-<x+<,
令t=
x+,則
t∈[-,],
原函數可化為f(t)=2sint,
t∈[-,]…(11分)
當
t=-時,f(t)min=-; …(12分)
當
t=時,f(t)max=2…(13分)
所以,當x∈[-π,π]時,函數f(x)的值域為:
[-,2]…(14分)
點評:本題以向量數量積為載體,求解三角函數的圖象與性質等問題,著重考查了三角恒等變換、平面向量的數量積和三角函數的值域與最值等知識,屬于中檔題.