Question

已知向量．
（Ⅰ）求點Q（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設曲線C與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，又點A（0，-1），當|AM|=|AN|時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由整理可求Q點的軌跡方程．
（II）由得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，結合直線與橢圓有兩個不同的交點，可得△＞0，從而可得m與k得關系，設弦MN的中點為P由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，從而有K_AP•K_mn=-1，代入可求．
解答：解：（I）由題意得：，∵．∴…（4分）
（II）由得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點，∴△＞0，即m²＜3k²+1①…（6分）
（1）當k≠0時，設弦MN的中點為P（x_p，y_p），x_M、x_N分別為點M、N的橫坐標，則…（8分）
又|AM|=|AN|，∴②，將②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得，故所求的m取值范圍是．…（10分）
（2）當k=0時，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m²＜3k²+1，解得-1＜m＜1．
…（12分）
點評：本題考查了軌跡方程的求法，橢圓性質的應用，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式及兩直線垂直與斜率關系的相互轉化得應用．