Question

【題目】已知函數， ．

（1）當時，求函數的單調增區間；

（2）設函數， ．若函數的最小值是，求的值；

（3）若函數， 的定義域都是，對于函數的圖象上的任意一點，在函數的圖象上都存在一點，使得，其中是自然對數的底數， 為坐標原點．求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：求函數的單調區間可利用求導完成，求函數的最值可通過求導研究函數的單調性求出極值，并與區間端點函數值比較得出最值；解決問題，先求出斜率的取值范圍，根據垂直關系得出斜率的取值范圍，轉化為恒成立問題，借助恒成立思想解題.

試題解析：

（1）當時， ， ．

因為在上單調增，且，

所以當時， ；當時， ．

所以函數的單調增區間是．

（2），則，令得，

當時， ，函數在上單調減；

當時， ，函數在上單調增．

所以．

①當，即時，

函數的最小值，

即，解得或（舍），所以；

②當，即時，

函數的最小值，解得（舍）．

綜上所述， 的值為．

（3）由題意知， ， ．

考慮函數，因為在上恒成立，

所以函數在上單調增，故．

所以，即在上恒成立，

即在上恒成立．

設，則在上恒成立，

所以在上單調減，所以．

設，

則在上恒成立，

所以在上單調增，所以．

綜上所述， 的取值范圍為．