【題目】已知橢圓
的左，右焦點
，
，上頂點為
，
，
為橢圓上任意一點，且
的面積最大值為
.
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）若點
.
為橢圓上的兩個不同的動點，且
（
為坐標原點），則是否存在常數
，使得點到直線
的距離為定值？若存在，求出常數和這個定值；若不存在，請說明理由.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ) 
時，
【解析】
（Ⅰ）結合題目條件
得
，再由條件
的面積最大值為
得
，結合
，聯立方程組即可求出
，從而得到橢圓方程.
（Ⅱ）當直線
斜率存在時，設出直線方程，求出原點
到直線的距離
，再聯立直線方程與橢圓方程，消去
得到關于
的一元二次方程，然后利用韋達定理得到
，結合數量積的坐標運算以及將
轉化為
，其對任意
恒成立，從而得到關于
和
的方程組，從而求出和；再驗證斜率不存在的情況也符合.
(Ⅰ)由題得，
，解得
，
橢圓的標準方程為.
(Ⅱ)設
，
，當直線AB的斜率存在時，
設其直線方程為：
，
則原點到直線的距離為，
聯立方程
，
化簡得，
，
由
得
，
則
，
，
即對任意的恒成立，
則
，，
當直線斜率不存在時，也成立.
故當時，點到直線AB的距離為定值.
第1卷單元月考期中期末系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，三國時代數學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內角為
，若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒（大小忽略不計，取
），則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（ ）
A. 134 B. 67 C. 200 D. 250
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓
與
軸交于
、
兩點（點在點的左側），
、
是分別過、點的圓
的切線，過此圓上的另一個點
（點是圓上任一不與、重合的動點）作此圓的切線，分別交、于
、
兩點，且
、
兩直線交于點
．
（
）設切點坐標為
，求證：切線
的方程為
．
（
）設點坐標為
，試寫出
與
的關系表達式（寫出詳細推理與計算過程）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
，定直線
，動圓
經過點
且與直線
相切.
（I）求動圓圓心的軌跡方程；
（II）設點
為曲線上不同的兩點，且
，過兩點分別作曲線的兩條切線，且二者相交于點
，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的幾何體中，
垂直于梯形
所在的平面，
為
的中點，
，四邊形
為矩形，線段
交
于點
.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）在線段
上是否存在一點
，使得
與平面
所成角的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的兩個焦點
，
，設
，
分別是橢圓
的上、下頂點，且四邊形
的面積為
，其內切圓周長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）當
時，
，
為橢圓上的動點，且
，試問：直線
是否恒過一定點？若是，求出此定點坐標，若不是，請說明理由.
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