Question

【題目】已知是無窮等比數列，若的每一項都等于它后面所有項的倍，則實數的取值范圍是______.

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．

【解析】

無窮等比數列{an}的各項和為A，前n項和為Sn，公比為q，0＜|q|≤1，q≠1．可得A，Sn，由題意可得：an＝k（A﹣Sn），代入化為：k，分類討論即可得出．

解：無窮等比數列{an}的各項和為A，前n項和為Sn，公比為q，0＜|q|≤1，q≠1．

則A，Sn，

由題意可得：an＝k（A﹣Sn），

∴a1q＝k（），

化為：k，

1＞q＞0時，k＞0，n→+∞時，k→+∞．

﹣1≤q＜0時，可得：n為偶數時，k∈（﹣∞，﹣2]；n為奇數時，k＞0．

∴k∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．

綜上可得：k∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．

故答案為：（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．