Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設Sn為數列{ }的前n項和，求證：1≤Sn＜4．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），

可得an+1+1=2（an+1），

即有數列{an+1}為首項為2，公比為2的等比數列，

則an+1=2n，即為an=2n﹣1

（2）解：證明： = =n（ ）n﹣1，

前n項和Sn=11+2 +3 +…+n（ ）n﹣1，

Sn=1 +2 +3 +…+n（ ）n，

兩式相減可得， Sn=1+ + + +…+（ ）n﹣1﹣n（ ）n，

= ﹣n（ ）n，

化簡可得前n項和Sn=4﹣（2n+4）（ ）n．

由 = ＜1，

可得（2n+4）（ ）n為遞減數列，

則Sn為遞增，則Sn≥S1=1，且Sn＜4．

即有1≤Sn＜4．

【解析】（1）由題意可得an+1+1=2（an+1），運用等比數列的定義和通項公式，即可得到所求；（2）求出 = =n（ ）n﹣1 ， 再由數列的求和方法：錯位相減法，結合數列的單調性，即可得證．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．