Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為（0,1）

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線l2：y＝kx+m與拋物線C有唯一公共點P，且與直線l1：y＝﹣1相交于點Q，試問，在坐標平面內是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；（2）存在N（0,1）

【解析】

（1）根據拋物線的交點坐標，即可得到，從而求得拋物線方程；

（2）根據拋物線與直線相切，求得切點的坐標，以及之間的等量關系，再求出點的坐標，從而寫出圓的方程，再求圓恒過的定點即可.

（1）由題意，，

所以p＝2，

∴拋物線C的方程為：x2＝4y；

（2）由得x2﹣4kx﹣4m＝0（*），

由直線y＝kx+m與拋物線C只有一個公共點，

可得，解得m＝﹣k2，代入到（*）式得x＝2k，

∴P（2k,k2），

當y＝﹣1時，代入到y＝kx﹣k2

得Q（），

∴以PQ為直徑的圓的方程為：

，

整理得：，

若圓恒過定點，則，

解得，

∴存在點N（0,1），使得以PQ為直徑的圓恒過點N．