Question

【題目】如圖，已知平面內一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，線段的垂直平分線為.

①求的面積的最大值；

②軌跡上是否存在除、外的兩點、關于直線對稱，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②見詳解.

【解析】

（1）根據題意，得到動點的軌跡是橢圓，以線段的中點為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，即可得出軌跡方程；

（2）①根據橢圓的特征，得到為橢圓的上頂點時，的高最大，進而可求出結果；

②當時，根據橢圓的對稱性，即可得出存在除、外的兩點、關于直線對稱；當與不垂直時，假設存在這樣的兩個不同的點、，設，， ，的中點為，，根據推出，同理得到，得到，結合條件推出矛盾，即可得出結論.

（1）因為，

所以動點的軌跡是以、為焦點，以為長軸的橢圓；

以線段的中點為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，

因此，動點的軌跡的方程為；

（2）①由題意，，當為橢圓的上頂點時，的高最大，此時面積最大；

所以的面積的最大值為；

②當時，線段的垂直平分線為軸，根據橢圓的對稱性可得：存在除、外的兩點、關于直線對稱，

當與不垂直時，假設存在這樣的兩個不同的點、，

設，， ，的中點為，，

由，在橢圓上，

則，兩式作差得：，

所以，即；

同理，，

因為直線為線段，的垂直平分線，所以，

即三點共線，這與與不垂直矛盾，因此假設不成立，

所以與不垂直時，不存在除、外的兩點、關于直線對稱.