Question

已知是奇函數
（Ⅰ）求k的值，并求該函數的定義域；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結果，判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性，并給出證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵是奇函數，
∴f（x）+f（-x）=0，即
則1-k²x²=1-x²，即k=±1，
當k=1時，，所以k=-1
定義域為：{x|x＞1或x＜-1}
（Ⅱ）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，則
又（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=2（x₂-x₁）＜0∴，又a＞1，
∴
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是單調遞減函數
分析：（I）根據函數是奇函數，則f（x）+f（-x）=0，建立等式關系，求出k的值，然后根據真數大于零求出函數的定義域；
（II）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）與f（x₂）的大小，從而判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性．
點評：本題主要考查了奇函數的定義，以及函數的定義域和函數在給定區間上的單調性，同時考查了計算能力，屬于中檔題．