Question

【題目】如圖，已知圓錐的頂點為，底面圓心為，半徑為2，母線長為

（1）求該圓錐的體積；

（2）已知為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，且，為線段的中點，求異面直線與所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）由題可知，，，根據勾股定理求得，則圓錐的高，再根據圓錐的體積公式計算，即可求出圓錐的體積；

（2）法一：聯結，由是的中點，為線段的中點，根據三角形中位線的性質可得出，所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，根據條件得，，求得，則為等邊三角形，即，即可得出結果；

法二：以為坐標原點，以為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求得，，根據空間向量法求異面直線的夾角公式，即可求得異面直線與所成的角.

（1）解：如圖，由題意得，，

在中，，

即該圓錐的高，

由圓錐的體積公式得：，

即該圓錐的體積為.

（2）解法1：聯結，如圖所示，

由于為圓錐底面的直徑，是的中點，

而為線段的中點，則，

所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，

因為，，

所以，，

在中，，

所以為等邊三角形，即，

因此異面直線與所成的角的大小為.

解法2：以為坐標原點，以為軸、軸、軸的正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得，，，，，

因為為線段的中點，得，

所以，，

設異面直線與所成的角為，向量與的夾角為，

則，

又，所以，

即異面直線與所成的角的大小為.