【題目】已知函數
， 
，其中
是自然常數.
(1)判斷函數
在
內零點的個數，并說明理由；
(2) 
， 
，使得不等式
成立，試求實數
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】試題分析：（1）對函數求導， 
，得到函數
在
上單調遞增，根據零點存在定理得到函數存在一個零點；（2）不等式
等價于
，即
，對兩邊的函數分別求導研究單調性，求得最值得到
取得最大值
， 
取得最小值
，故只需要
,解出即可.
解析：
(1)函數
在
上的零點的個數為1，理由如下：
因為
，所以
，
因為
，所以
，所以函數
在
上單調遞增.
因為
， 
，根據函數零點存在性定理得函數
在
上存在1個零點.
(2)因為不等式
等價于
，
所以
， 
，使得不等式
成立，等價于
，即
，
當
時， 
，故
在區間
上單調遞增，
所以當
時， 
取得最小值
，又
，
當
時， 
， 
， 
，所以
，故函數
在區間
上單調遞減.
因此，當
時， 
取得最大值
，所以
，所以
，
所以實數
的取值范圍為
.
名校名卷單元同步訓練測試題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
： 
的焦點為
，圓
： 
，過
作垂直于
軸的直線交拋物線
于
、
兩點，且
的面積為
.
（1）求拋物線
的方程和圓
的方程；
（2）若直線
、
均過坐標原點
，且互相垂直， 
交拋物線
于
，交圓
于
， 
交拋物線
于
，交圓
于
，求
與
的面積比的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在平面直角坐標系
中，已知直線
： 
（
為參數），以坐標原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
的直角坐標方程；
（2）設點
的極坐標為
，直線
與曲線
的交點為
， 
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），在以
為極點， 
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
是圓心為
，半徑為1的圓．
（1）求曲線
， 
的直角坐標方程；
（2）設
為曲線
上的點， 
為曲線
上的點，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為
A. 11π B. 
C. 
D. 
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