Question

已知，，，.
（Ⅰ）請寫出的表達式（不需證明）；
（Ⅱ）求的極小值；
（Ⅲ）設，的最大值為，的最小值為，試求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）的極小值；（Ⅲ）的最小值為．

試題分析：（Ⅰ）先由已知條件寫出，的表達式，觀察式子的結構特征，用不完全歸納法歸納出表達式（可以用數學歸納法給出證明）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表達式，要求極值點，就要借助的導函數，令，解出可能的極值點，驗證是極值后代入解析式，即可求出的最小值；（Ⅲ）類比求函數的最小值的過程，即可求出函數的極大值，進而求出函數的最大值，從而得的關系式，將它看作數列，研究該數列相鄰兩項的關系，即可求得的最小值；得的關系式后，也可以構造函數，利用導數求它的最小值，即得的最小值．
試題解析：（Ⅰ）                       4分
(Ⅱ)∵，∴當時，；當時，,∴當時，取得極小值，即（）    8分
(Ⅲ)解法一：∵，所以.     9分
又，∴，令，則.                                10分
∵在單調遞增，∴，∵，，
∴存在使得.                             12分
∵在單調遞增，∴當時，；當時，，即在單調遞增，在單調遞減，∴，又∵，，，
∴當時，取得最小值.                            14分
解法二： ∵，所以.        9分
又，∴，令，則，                             10分
當時，，又因為，所以，，，
∴，所以.                       12分
又，，∴當時，取得最小值.      14分