Question

【題目】已知動圓過定點，且與直線相切.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）設是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的斜率分別為，且，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析,過定點.

【解析】

（1）由題意可得，動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義可求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）設，則.由題意知直線的斜率存在，從而設方程為，將與聯立消去，得，由韋達定理得，代入得，代入直線方程即得.

（1）設為動圓圓心，記為，過點作直線的垂線，垂足為，

由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，

由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，

所以軌跡方程為；

（2）如圖，設，由題意得，

由題意知直線的斜率存在，從而設AB方程為，顯然，

將與聯立消去，得

由韋達定理知

由，即

將①式代入上式整理化簡可得：，

所以AB方程為過定點.