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【題目】已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現從該棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.

（1）求概率的值；

（2）求隨機變量的概率分布及其數學期望.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題意，分別得出“從5個頂點中隨機選取3個點構成三角形”和“”所包含的基本事件個數，基本事件個數比即為所求概率；

（2）先由題意得到的可能取值，求出對應的概率，進而可得到分布列，求出期望.

解：（1）從5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，

共有種取法.其中的三角形如，

這類三角形共有個.

因此.

（2）由題意，的可能取值為，2，.

其中的三角形是側面，這類三角形共有4個；

其中的三角形有兩個，和.

因此，.

所以隨機變量的概率分布列為：

2

所求數學期望

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了促進我國人口均衡發展，從2016年1月1日起，全國統一實施全面放開二孩政策，這也是為了重建大國人口觀，重新認識人口價值、人口規律、人口問題，某研究機構為了了解人們對全面放開生育二孩政策的態度，隨機調查了200人，得到的統計數據如下面的不完整的2×2列聯表所示（單位：人）：

支持生育二孩

不支持生育二孩

合計

男性

30

女性

60

100

合計

70

（1）完成2×2列聯表，并求是否有90%的把握認為是否“支持生育二孩”與性別有關？

（2）現從樣本中的女性中利用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機選出2人進行深層次的交流，求選出的2人中至少有1人“支持生育二孩”的概率.

參考公式：，其中.

參考數據：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知O為坐標原點，，，直線AG，BG相交于點G，且它們的斜率之積為.記點G的軌跡為曲線C.

（1）若射線與曲線C交于點D，且E為曲線C的最高點，證明：.

（2）直線與曲線C交于M，N兩點，直線AM，AN與y軸分別交于P，Q兩點.試問在x軸上是否存在定點T，使得以PQ為直徑的圓恒過點T？若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在某校冬季長跑活動中，學校要給獲得一、二等獎的學生購買獎品，要求花費總額不得超過元.已知一等獎和二等獎獎品的單價分別為元、元，一等獎人數與二等獎人數的比值不得高于，且獲得一等獎的人數不能少于人，那么下列說法中錯誤的是（ ）

A.最多可以購買份一等獎獎品

B.最多可以購買份二等獎獎品

C.購買獎品至少要花費元

D.共有種不同的購買獎品方案

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為迎接“五一國際勞動節”，某商場規定購買超過6000元商品的顧客可以參與抽獎活動現有甲品牌和乙品牌的掃地機器人作為獎品，從這兩種品牌的掃地機器人中各隨機抽取6臺檢測它們充滿電后的工作時長相關數據見下表（工作時長單位：分）

機器序號

1

2

3

4

5

6

甲品牌工作時長/分

220

180

210

220

200

230

乙品牌工作時長/分

200

190

240

230

220

210

（1）根據所提供的數據，計算抽取的甲品牌的掃地機器人充滿電后工作時長的平均數與方差；

（2）從乙品牌被抽取的6臺掃地機器人中隨機抽出3臺掃地機器人，記抽出的掃地機器人充滿電后工作時長不低于220分鐘的臺數為，求的分布列與數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在某外國語學校舉行的(高中生數學建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數之比為,且成績分布在,分數在以上(含)的同學獲獎．按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示．

(Ⅰ)求的值,并計算所抽取樣本的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；

(Ⅱ)填寫下面的列聯表,并判斷在犯錯誤的概率不超過的前提下能否認為“獲獎與女生、男生有關”．

女生

男生

總計

獲獎

不獲獎

總計

附表及公式：

其中,．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了豐富學生的課外文化生活，某中學積極探索開展課外文體活動的新途徑及新形式，取得了良好的效果.為了調查學生的學習積極性與參加文體活動是否有關，學校對200名學生做了問卷調查，列聯表如下：

參加文體活動

不參加文體活動

合計

學習積極性高

80

學習積極性不高

60

合計

200

已知在全部200人中隨機抽取1人，抽到學習積極性不高的學生的概率為.

（1）請將上面的列聯表補充完整；

（2）是否有99.9%的把握認為學習積極性高與參加文體活動有關？請說明你的理由；

（3）若從不參加文體活動的同學中按照分層抽樣的方法選取5人，再從所選出的5人中隨機選取2人，求至少有1人學習積極性不高的概率.

附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，

（1）證明：平面平面；

（2）當平面與平面所成銳二面角的余弦值，求直線與平面所成角正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點.

（1）若過點，且，求的斜率；

（2）若，且的斜率為，當時，求在軸上的截距的取值范圍（用表示），并證明的平分線始終與軸平行.

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