Question

【題目】在外接圓直徑為1的△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設向量 =（a，cosB）， =（b，cosA），且 ∥ ， ≠ ．
（1）求sinA+sinB的取值范圍；
（2）若abx=a+b，試確定實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（a，cosB）， =（b，cosA），且 ∥ ，

∴acosA=bcosB

即sinAcosA=sinBcosB

∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A+2B=π

又∵ ≠ ．

∴2A+2B=π

∴A+B=

∴sinA+sinB=sinA+sin（ ﹣A）=sinA+cosA= sin（A+ ）

∵A∈（0， ）

∴A+ ∈（ ， ）

∴ sin（A+ ）∈（1， ]

∴sinA+sinB的取值范圍為（1， ]

（2）解：若abx=a+b，則x= = =

令t=sinA+cosA，由（1）得t∈（1， ]

則x= = = ≥ =2

故實數x的取值范圍為[2 ，+∞）

【解析】（1）由向量 =（a，cosB）， =（b，cosA），且 ∥ ，結合正弦定理，和差角公式及正弦型函數的圖象和性質，可得sinA+sinB的取值范圍；（2）若abx=a+b，可得x= ，結合正弦定理及（1）中結論，可得實數x的取值范圍